নিচের সূত্রগুলো লক্ষ কর:

$i.(a-b{)}^2=(a+b{)}^2-4ab$

$ii.a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

$iii.(x+a)(x+b)=x^2+(ab{)}^2$

নিচের কোনটি সঠিক?

আমরা জানি, $6 = 2 \times 3$

এখানে, 2 ও 3 হলো 6 এর দুইটি উৎপাদক বা গুণনীয়ক।

৩ নং সূত্র থেকে আমরা জানি, $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

তাহলে, (a + b) ও (a - b) বীজগণিতীয় রাশি $a^2-b^2$ এর দুটি উৎপাদক বা গুণনীয়ক।

বীজগণিতীয় বিভিন্ন সূত্র এবং গুণের বিনিময়বিধি, সংযোগবিধি ও বণ্টনবিধি ব্যবহার করে বীজগণিতীয় রাশিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা হয়।

গুণনের বণ্টনবিধির সাহায্যে উৎপাদকে বিশ্লেষণ

উদাহরণ ২২। 20x +4y কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান:

$20x + 4y = 4 \times 5x + 4y$

= 4(5x + y) [গুণের বণ্টনবিধি অনুযায়ী]

উদাহরণ ২৩। ax-by+ax by কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান:

ax - by + ax - by

= ax + ax-by-by

= 2ax - 2by [গুণের বণ্টনবিধি অনুযায়ী]

= 2(ax-by)

উদাহরণ ২৪। উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর: $2x-6x^2$

সমাধান: $2x-6x^2=2x(1-3x)$

উদাহরণ ২৫। উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর: $x^2+4x+xy+4y$

সমাধান:

$x^2+4x+xy+4y$

$= x(x + 4) + y(x + 4)$

= (x + 4)(x + y)

লক্ষ করি: দুটি রাশি এমনভাবে নির্বাচন করতে হবে যেন বণ্টনবিধি প্রয়োগ করে প্রাপ্ত রাশি দুটির মধ্যে একটি সাধারণ উৎপাদক পাওয়া যায়।

বীজগণিতীয় সূত্রের সাহায্যে উৎপাদকে বিশ্লেষণ

উদাহরণ ২৬। উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর: $25-9x^2$

সমাধান: $25-9x^2=(5{)}^2-(3x{)}^2=(5+3x)(5-3x)$

উদাহরণ ২৭। $8x^4-2x^2{a}^2$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান: $8x^4-2x^2{a}^2=2x^2(4x^2-a^2)$ [বণ্টনবিধি অনুযায়ী]

$=2x^2\left\{\right(2x{)}^2-\left(a{)}^2\right\}=2x^2(2x+a)(2x-a)$

উদাহরণ ২৮। উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর: $25(a+2b{)}^2-36(2a-5b{)}^2$

সমাধান: ধরি, a + 2b = x এবং 2a - 5b = y

প্রদত্ত রাশি

$=25x^2-36y^2$

$= {\left(5x\right)}^2- {\left(6y\right)}^2$

$= (5x+6y)(5x-6y)$

$=5(a+2b)+6(2a-5b)5(a+2b)-6(2a-5b)$ [x ও y এর মান বসিয়ে]

$=(5a+10b+12a-30b)(5a+10b-12a+30b)$

$=(17a-20b)(40b-7a)$

উদাহরণ ২৯। উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর: $4x^2-4xy+y^2-z^2$

সমাধান:

$4x^2-4xy+y^2-z^2$

$=(2x{)}^2-2\times 2x\times y+(y{)}^2-z^2$

$=(2x-y{)}^2-(z{)}^2$

$= (2x - y + z)(2x - y - z)$

উদাহরণ ৩০। উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর: $2bd-a^2-c^2+b^2+d^2+2ac$

সমাধান:

$2bd-a^2-c^2+b^2+d^2+2ac$

$=b^2+2bd+d^2-a^2+2ac-c^2$ [সাজিয়ে]

$=(b^2+2bd+d^2)-(a^2-2ac+c^2)$

$=(b+d{)}^2-(a-c{)}^2$

= (b + d + a - c)(b + d - a + c)

= (a + b - c + d)(b - a + c + d)